344 WIGERT, SUR LES NOMBRES PREMIERS. 



Oll voit alors qu'en posant 



(2) .,^-()(.;)=y y L^— + 1 + 4-j=y-^ 



/ J / A X — UV f-lV /.l^V^j / j U^V^\ 



g{x) = H{x)Q{x) , 



g{x) représeiite une fonction entiere de x qui s'annulle pour les 

 nombres premiers. Pour tout nombre composé c, g{x) a la 

 valeur de 



(— iy|c — l-Z(c) 



le Symbole l{c) désignaiit le nombre des diviseurs distincts de 

 c. Ell faisant disparaitre comme plus haut les zéros non entiers 

 introduits par Q{x), nous obtenons ainsi une fonction entiére: 



(3) f{x) = H\x) + g\x) 



dont les seuls zéros réels sont les nombres premiers. 



Quant aux valeurs complexes qui fönt s'annuller la fonction 

 f{x) on voit en I'ecrivant sous la forme 



f{x) = H\x) [1 + Q\xy] 

 que ces valeurs doivent satisfaire a Tegalite: 



Q{x) = ±i, 

 puisque H{x) n'a pas de zéros complexes. Ainsi en posant 



Q{^ + iri) = Qi + ^■Q2 , 

 nous devons avoir 



Q^ = ; Qo == ± 1 

 pour que f{x) s'annulle. II faut donc examiner un peu la fonc- 

 tion Cl{x). On trouve d'abord ^) 



(4) Q(.,)=y'f ._!_, 



/ J C^ X — c 



') Daus le voisinage de a; = on a le développement : 



00 00 j^ 



