481 



Ofversigt af Koagl. Vetenskaps-xVkiideiiiieus Förhandlingar WJb. N:o 7. 



Stockholm. 



Bidrag till frågan om den rätta definitionen på 

 derivator med komplexa indices. 



Av A. Edv. Fransen. 



[Meddeladt den 11 September 1895 genom M. Falk.] 



1. Förebådad genom några korta anmärkningar av Leib- 

 NiTZ, Euler, Laplace och Fourier, framträdde den nya kalky- 

 len i sin första klart definierade form år 1832, då LlouviLLE 

 på en gång publicerade tre stora avhandlingar ^) om derivator 

 med indices av vilken natur som helst (»sur le calcul des dilfé- 

 rentielles a indices quelconques»). LiouviLLE utgick från den 

 bekanta formeln 



i?V = a^e"", (1) 



som enligt differentialkalkylen gäller för hela positiva ;«, då 



i) = ± 



dx ' 

 och enligt integralkalkylen för hela negativa ^, då 



Denna formel (1), som således är sann för alla hela tal ^u, tog 

 LlOUViLLE såsom definition på deri vätan av e"^ med index ^w, 

 der (X får vara vilket tal som helst, positivt eller negativt, helt 



') Journal de Fécole polytechnique, cahier 21, (tome 13), p. 1 — 186. Om 

 samma ämne skrev han senare i Grelles Journal, 11 och 12, och i sin 

 egen Journal, I: 20. 



