482 FRANSEN, DERIVATOR MED KOMPLEXA INDICES. 



eller brutet, rationelt eller irrationelt, reelt eller imaginärt. Men 

 varje funktion y av x kan, säger Liouville, utvecklas i en 

 konvergent exponentialserie 



.V =2^-^""' (^) 



och hans allmänna definition lyder 



D^y=^A,,,mf'é^^ (3) 



Häremot kan åtminstone den invändningen göras, att defini- 

 tionen blir illusorisk, dels för alla .^•-värden, då serien (3) sak- 

 nar konvergensområde, dels för somliga .^^-värden, då serien (3) 

 har mindre konvergensoraråde än serien (2). LiOüViLLES defini- 

 tion måste således kompletteras med ett tillägg av ungefär föl- 

 jande lydelse: Under förutsättning, att ett gemensamt konver- 

 gensområde för serierna (2) och (3) verkligen finnes, gäller de- 

 finitionen för alla .r-värden inom detta. Varje derivering måste 

 således vara förenad med en konvergensundersökning såväl av 

 den ursprungliga som av den härledda serien. ') 



2. Valet av exponentialfunktionen såsom utgångspunkt var 

 synnerligen lyckligt, och huvudsaken i detta meddelande är i 

 sjelva verket, att jag funnit ett nödvändigt sammanhang mellan 

 den vanliga differentialkalkylen och Lioüvilles allmänna diffe- 

 rentialkalkyl, förmedladt genom en viss exponentialfunktion. Men 

 det blev ödesdigert för den nya kalkylens framtid, att ingen 

 objektiv motivering gavs, varför just denna funktion valdes. 

 Det minsta antalet av LiouviLLES efterföljare har tagit intryck 

 av hans alltför subjektiva motivering (p. 72): vll me parait 

 comme impossible d'acquerir une idée exacte et complete des 

 differentielles å indices quelconques, sans faire usage du dévelop- 



') Detta är i sjeWa verket endast ett kousekvent genomförande av Liouvilles 

 egen princip: »Cette nécessité de n'employer que des series convergentes 

 n'est plus contestée par personne. Les series divergentes, amenant le plus 

 souvent des resultats fautifs. doivent étre tout-a-fait bannies de l'analyse. 

 Si donc il m'ari'ive quelquefois de raisonner sur des series qui ne soient 

 pas toujours convergentes, entendez qu'il faut restreindre les conséquences 

 obtenues par ce moyen dans les limites ou la convergence des series dont 

 on se sert est démontrée.» Journal polyt., cah. 21, p. 77. 



