484 FRANSEN, DERIVATOR MED KOMPLEXA INDICES. 



samma gång som x, och x måste vara en ree! kvantitet på 

 samma gång som h. 



2:o) Resultatet är oberoende av den riktning, i vilken /* går 

 mot noll, med undantag möjligen av enstaka Ä?-värden. 



3:o) Resultatet är oberoende av det sätt, på vilket h går 

 mot noll, så att h får vara en godtycklig försvinnande funktion 

 av en försvinnande eller oändligt växande, kontinuerlig eller 

 diskontinuerlig, variabel. 



Dessa tre grundsatser för limesövergången gälla också vid 

 den allmänna limesformeln 



r{x) := lim ly (- l)\^)nf{o^ + f^- nh) , 



n = O 



f.i{f.i — 1) . . . (t/ — n — 1) 



där 



(,")« = 



1 • 2 .... w 



Här betyder (.i ett helt positivt tal, och såsom övre summations- 

 gräns kan man använda vilket helt positivt tal som helst, en- 

 dast det är större än eller lika med {.i, således även 



f{x) = lim ^y (- l)\i\f{x + u - nh) 

 h = o lif^ / j 



(5) 



Vad blir det av denna formel, dä [i icke är helt positivt tal? 

 Skulle icke detta kunna anländas såsom definition på derivatan 

 med index /< av f{xYi — Nej, ty då innehåller formeln en 

 oändlig serie, som i allmänhet är divergent. LiouviLLES be- 

 handling av denna fråga är mycket bristfällig. Men lyckligtvis 

 fäster han ringa vikt vid sina betraktelser i detta avseende 

 (»j'attache fort peu d'importance å tous ces détails», p. 109), 

 och avdelningen V (p. 106 — ^113) i hans huvudarbete står icke 

 i sammanhang med det övriga. Emellertid må det här påpekas, 

 att han begår två fel (p. 110), det ena, då han från utvecklingen 



