«ÖFVERSIGT AF K. VETBNSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1895, N:0 7. 485 

 utan vidare sluter till utvecklingen 



F{.v + 1.1— nh) =2^«^'"^'' ■*" ^^~"''' , 



och detta även för oändligt växande n, vilket skulle förutsätta 

 •ett obegränsadt konvergensområde, det andra, då han inskränker 

 h till en positiv kvantitet, vilket strider mot vår andra grund- 

 regel för liraesövergången. Ty, väl att märka, dä ju den nya 

 kalkylen skulle vara en generalisation av differentialkalkylen, 

 måste varje formel i den nya kalkylen kunna specialiseras till 

 en motsvarande formel i differentialkalkylen. Om nu h in- 

 skränktes i den allmänna formeln, kvarstods ju denna inskränk- 

 ning vid specialiseringen. 



4. Även den kalkyl, som vanligen bär Grünwalds eller 

 Letnikoffs namn, har sin limesformel, ehuru somliga (t. ex. 

 Holmgren) derav icke göra någon användning. Då emellertid 

 Grünwald sjelv fäster en så stor vikt dervid, att han rent av 

 tar den till utgångspunkt för kalkylen, torde en anmärkning mot 

 •densamma vara av intresse. Här inskränkes h på det sätt, att 



lim h = lim ^ZLfo =. o , 



der n är ett positivt heltal och x^ en konstant. Detta strider 

 tydligen mot vår tredje grundregel för limesövergången. 



5. Då således serien (5) icke utan vidare kan användas i 

 en limesformel för derivator med komplex index f.i, kan man 

 föresätta sig den uppgiften att finna en lämplig konvergent serie, 

 som för alla hela positiva ^«-värden antager formen (5). Om 

 detta är möjligt, så torde det vara möjligt på flera sätt, och 

 något godtyckligt skulle kvarstå vid valet av den nya kalkylens 

 grunddefinition. Men antag nu, att det finnes någon funktion 

 f^x) så beskaff'ad, att serien (5) blir konvergent, åtminstone för 

 några ^-värden, och att en limesövergång kan verkställas utan 

 kränkning av de tre grundreglerna i § 3; då ha vi ju funnit 

 •ett fall av omedelbar generalisation av differentialkalkylens limes- 

 formel, och det synes mig omöjligt att bestrida det på sådant 



