486 FRANSEN, DERIVATOR MED KOMPLEXA INDICES. 



sätt erhållna resultatet nainn av derivata med index j», för så 

 vidt neraligen den nya kalkylen vill göra anspråk på att i första 

 hand vara en generalisation av diflferentialkalkylen. Antag vidare, 

 att andra funktioner kunna utvecklas i summor av sådana funk- 

 tioner, som vi enligt det sagda kunna derivera, så ha vi ju en 

 metod att derivera även dessa andra funktioner, och så torde 

 väl åtminstone en början vara jord till ett slutligt avgörande 

 av den sekelgamla striden om den rätta definitionen på derivator 

 med komplexa indices. 



6. Lät oss alltså bestämma funktionen /( ) och, om så 

 behöves, även konstanten u, så att serien (5) blir konvergent. 

 Argumentet i /( ) är för seriens allmänna term 



§ = X + (i-i — 7i)h , n = O, 1, 2, 3, ... CO.. 



Huru litet än | h | tages, kommer ^ att överfara hela argumen- 

 tets plan, och då \h\ måste tillåtas antaga godtyckliga värden 

 i en liten närhet till noll, blir ju <^ för varje särskild term all- 

 deles obestämd, om n tages tillräckligt stort. Detsamma in- 

 träffar i allmänhet med kvoten mellan två successiva termer 



ri.„, n + 1 f{S) ^ ^ 



Och eftersom n och h skola gä till limes oberoende av varandra, 

 kan lim ^ icke bestämmas, då lim?i=oo och limA = 0. För 

 avgörande av konvergensen med ledning av (6) fordras således 

 först och främst, att § utgår ur denna formel. Nu betrakta vi 

 två variabler n och A. De kunna ersättas med ^ och h. Således- 

 måste 



.m ^^' 



eller 



Härur kan /( ) bestämmas. Ty derivera partielt med avseende 

 pä ^ och h successive och eliminera /'(^ — h), så fås 



