722 KOCH, SUR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 



un systéiiie d'equations tel que Tintégrale generale dépend d'une 

 infinite de constantes arbitraires, le problénie devient beaucoup 

 plus difficile, surtout puisqu'on ne peut pas, comme dans le cas 

 précédent, se fonder sur la théorie des substitutions linéaires. 



Pour ce qui concerne le cas d'une éqnation aux dérivées 

 partielles du premier ordre, on a un memoire classique de M. 

 PoiNCARÉ ^) qui vient d'etre complété sur d'importants points 

 par M. Bendixson. -) 



Quant aux équations d'ordre supérieur, on ne connait rien 

 sur la forme anaiytique des integrales dans le voisinage d'un 

 point singulier, sauf dans certains cas tres particuliers comme 

 celui des équations a coefficients constants ou des équations qui 

 s'y raménent par un changement de variables. 



Je me suis demandé si Ton ne pouvait pas, pour Tétude 

 du cas general, tirer quelque parti de la théorie des détermi- 

 nants infinis; et en ettet, j'ai trouvé que, par ce moyen, on 

 peut traiter la question da-ns des cas tres étendus. Dans ce qui 

 suit, je me bornerat å énoncer briévement les resultats aux- 

 quels je suis arrivé; j'aurai a les démontrer et ä étudier d'autres 

 questions qui s'y rattachent dans un memoire qui sera publié 

 bientot. 



1. Considérons une équation de la forme 



^d'-z -., d'-z .,d-z dz dz , . .. 



(1) ax- ^., + -Ibxij -„-7- + '--y- ^, + px -^ + <]}) -- + (f{xi})z = O 

 ' dx- -^ dxöij ^ dij- ^ ox ''^ dij ^ ^' 



a, h, c désignant des constantes reelles véritiant la condition 



(2) ac — h- > O , 



p, q 'des constantes quelconques et q) une fonction de x, y 

 assujettie a la seule condition d'etre développable, dans un 

 domaine donné (\ selon les puissances positives et negatives (en 

 nombre tini ou intini) de x et de y^ soit: 



') PoiNCAKÉ, Théses de doctorat; Paris 187i). Cf. Acta math., i. 13. 



2) Bkndixson, Comptes rendus 1894; Öfvers. af K. V. A. Förli., 18!U, 189.''). 



