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(3) </'k'y)-2 1 ^-.-.■•O'''- 



Nous pourrons fléiuontrei' ce tliéoronie: 

 TJéquation (1) admet une iiitäfralc de la forme 



(4) ^'".y^'^^^W^ 



a.fi 



Q et u rfxird des eonstantes assujetties seidemerd å vérifier une 

 certaine équation 



(5) D{q, m) = o , 



les coefficieuts (jr^fö étcoit des fonctio7ts entih-es de q ef de fi 

 et la serie figurant dans (4) étant convergente dans le méme 

 domaine C qrie la serie (o). 



Nous avons done dans (4) une integrale particuliére ren- 

 ferniant une constante arbitraire. La serie (4) converge uni- 

 forniément par rapport a q et a ii dans un domaine fini quel- 

 conque. On peut donc la différcntier terme par terrae et obtient 

 ainsi de nouvelles integrales contenant log .r et log // a des 

 puissances aussi élévées qu'on le voudra. 



Quant ä D{q, ^<), c'est une fonction entiere transcendante 

 de Q et de h, périodique et de periode 1 par rapport ä chacune 

 de ces variables. Åttribuons ä u une valeur fixe quelconque |.^^^ 

 et considérons, dans le plan oii Ton représente q, une bände 

 limitée par deux droites paralleles découpant sur Taxe réel la 

 longueur rin. Dans cette bände B, la fonction D{q, i-if^) admet 

 une infinite de couples de racines que nous désignerons par 



(6) Ox- , Oi,.{k = — oo . . . + co) . 



Considérons d'autre part la fonction du second degré 



(7) fi{Q , A') = <^^Q(Q — 1) + ^^?it' + '¥'(^' — 1) + l'Q + y," + ^(.0 ; 



désignons par 5 {'ensemble des racines de (9(^, f.t) et de toutes 

 les fonctions ß{^ + «, ;" + ß) obtenues en augnientant o et ,u 

 par des entiers positifs ou négatifs quelconques. Nous suppose- 



