724 KOCH, SUR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 



rons, ce qui est perniis, que la bände B ait été choisi de teile 

 Sorte que les deux droites qui la liniitent ne passent par aucun 

 des points 5, ni s'y approche indéfininient. Cela étant. de- 

 signens par 



CS) Qk , 0/.{k r= — CO . . . co) 



Celles des racines «S qui se trouvent a l'interieur de la bände B. 

 On peut supposer les q^^ Oj- rangés Jans un ordre tel que 

 Von ait 

 (9) lim (q/^ — ^^.) = , lim {g, — a /,)=-- 



A' = + CO A' = + 00 



ce qui donne des valeurs asymptotiques des ^/., rx/. pour les 

 grandes valeurs de k. 



2. Prenons en particulier |t<„ = et supposons d'abord 

 que toutes les racines (6) correspondant a cette valeur soient 

 distinctes. Nous pouvons tbrmer les fonctions suivantes: 



(10) ».=.."-2G;:r'-'y; v,=^-"i€r'-°''' «=-...... 



et, ß ^ ß^ ß 



dont chacane sera, nous le savons, une integrale particuliere de 

 l'equation (1), deünie dans le domaine de convergence C de la 

 serie (4). 



Ces integrales (10) S07it linéairement indépendantes. J'en- 

 tends par la qu'il est inipossible de déterminer une suite de 

 constantes 



Q , c'i a = - CO...+ 00) 



teile que la serie 



possede un domaine de convergence uniforme (situé a l'interieur 

 de C, bien entendu) et s'annule identiquement. 



De plus, on pourra établir les formules suivantes: 



liui = 1 , hm — — T = 1 



* = ± 00 x^'^'y i = ± 00 x' ^1/ 



valables pour toutes les valeurs de w et de y dans le domaine 

 C. Ces formules, combinées avec (9), montrent qu'une serie 

 quelconque de la forme 



