726 KOCH, SUE. LES ÉQUATIONS AÜX DÉRIVÉES PARTIELLES. 



D'apres le tliéoréme general de Cauchy auquel M^^^® de 

 KovALEVSKY a doiiné la forme definitive (Journal de Crelle, 

 t. 80), on sait que les fonctions zi et z i existent et sont par- 

 faitenient déterminées. Soient 



+ oc +0: 



;.=o /.=o 



les développements de f\{y) et de f^j^y) dans le voisinage de 

 y =: y^. Forinons la serie 



on voit que cette serie satisfait formellemeiit a l'equation (1) 

 et aux conditions initiales suivantes 



Donc 5 est identique a l'integrale considérée z. 



Or, d'apres le tliéoréme énoncé plus baut, les fonctions zi 

 et z'i pourront se mettre sous'la forme 



et 





les n. (i, «', ß' désignant certaines constantes. 



On arrive donc au tliéoréme suivant: 



Toute integrale de Véquation (1), holomoijylie dans le voi- 

 sinage d-un point donné X(^g^^ {de (?) p^iii s' exprirner par wie 

 serie de la forme 



les Ca- ei c'n- désignant des constantes. 



Cette serie est uniformément convergente dans le voisinage 

 de X = .?'„, ij = t/f^. Dans des cas particuliers, c'est-a-dire quand 

 on prend des fonctions initiales fi{ij) et f^il/) assujetties a cer- 

 taines conditions, le domaine de convergence pourra étre beau- 

 coup plus étendu. 



