ÖFVEllSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÜRHANDLINaAR 1895, N:0 {>. 727 



En vertu ^e Thypothcse (2) on sait, d'apres un tliéoreine 

 de M. PiCARD, ') que toute integrale de notre equation (1) est 

 nécessairement une fonction aiialytique. Donc l'expression (11) 

 représente toutes les integrales de 1'équation (1) (excepté celles 

 qui n'existeiit dans le voisinage d'aucun point du domaine C). 

 Comme l'expression (11) est linéaire et homogene par rapport 

 aux integrales (10), nous pourront expriraer le resultat obtenu 

 en disant que les integrales (1()) förment un Systeme fondainental 

 dHntégrales de Véquation aux dérivées partielles (1). 



3. Nous supposions plus liaut que les racines (6) fussent 

 distinctes; dans le cas contraire, des logarithmes pourront s'in- 

 troduire dans l'expression de certaines integrales du Systeme 

 fondamental comme dans le cas correspondant de la théorie des 

 équations å une seule variable indépendante. 



Dans le cas particulier ou la fonction q){xy) est holomorphe 

 dans le voisinage de ^ = O, 3/ = O, on aura 



Qk "= Qk , Gk = Ok {k = — 00 ... + 00) 



ce qui permet de calculer algébriquement les exposants des in- 

 tegrales (10); et ro# voit de plus qu'aucune de ces integrales 

 ne contiendra qu'un nombre limité de puissances negatives de 

 a; et de y. Ce cas est donc tout å fait analogue au cas regulier 

 dans la théorie de M. Fuchs. 



Dans ce qui précede, je me suis borné au cas d'une equa- 

 tion (1) 011 a, h, 6', p, q sont des constantes, a, b, c étant de 

 plus reelles et assujettis ä la condition (2). Les mémes resul- 

 tats s'etendent facilement au cas ou l'une des deux quantités p, 

 q serait une fonction de x et de _?/, holomorphe pour x = O, 

 y = 0. Puis, par un changement de variables et de fonction, 

 on peut ramener a ce cas toute equation de la forme (1) ou a, 

 b, c, p, q ne sont plus des constantes, mais des fonctions de x 

 et de _y, holomoiphes pour x = 0, ?/ = O, pourvu toutefois que 



') Journal de l'Ecole polytechnique, 1890. 



Öfvers. af K. Vet.-Akad. Förh. 1895. Arg. 52. N:o 9. 9 



