732 GRÖNWALL, LINEÄRA TOTALA DIFFERENTIALEKVATIONER. 



där alla C kunna utvecklas i serier af formen 

 yi Vr{^: — a, y — h) 



o 

 Analogien med de vanliga lineära differentialekvationerna 



leder nu till att särskildt betrakta det fall, då fundamental- 

 systemet förhåller sig bestämdt, d. v. s. då exponenterna q kunna 

 väljas så, att samtliga C förhålla sig regulärt för x = a, y = b. 

 Härför lämnas några tillräckliga men icke nödvändiga vilkor. 

 Efter studiet af ett specielt system, som uppfyller dessa vilkor, 

 öfvergår författaren till att generalisera det föregående till it 

 variabler. 



Frågan om de nödvändiga och tillräckliga vilkoren för be- 

 stämdhetsförhållande har Horn löst i två senare af hand lingar: 

 i sin Habilitationsschrift (Freiburg i. B. 1890) för några speciella 

 system, i Math. Annalen Bd 42 (1892), för det allmänna syste- 

 met i 2 variabler. Dessa vilkor gälla dock endast inom omgif- 

 ningen till en punkt a, b, som tillhör endast en singulär bild 



(p{xi^ = O och för hvilken ej -~ = 0. 



Genom att reducera systemet (5) på en normalform har det 

 lyckats Fuchs (Berliner Sitzungsberichte 1892) att åt nämnda 

 vilkor gifva en synnerligen enkel form. Afven hans undersök- 

 ningar gälla blott ett område som uppfyller ofvanstående vilkor. 

 Frågan, när systemet förhåller sig bestämdt inom ett godtyckligt 

 område, besvaras sålunda ick^ genom dessa arbeten. 



Några undersökningar öfver system af formen (5), hvilkas 

 koefficienter äro 27J-periodiska funktioner af ?i variabler, ha utgjort 

 närmaste anledningen till föreliggande arbete, som har till ända- 

 mål en utredning af denna fråga. 



Till grund för framställningen lägga vi den J\TCHS'ska 

 normalformen, hvars härledning vi först gifva. Sedan öfvergå 

 vi till allmänna undersökningar öfver lösningarnes form, då 

 koefficienterna antagas vara godtyckliga analytiska funktioner. 



Slutet bildar en lösning af bestämdhetsfrågan utan alla 

 inskränkninsjar. 



