734 GRÖNWALL, LINEÄRA TOTALA DIFFERENTIALEKVATIONER. 



hvaraf, om vi successive för x^ sätta x^ . . . Xn 



6*2 —+... + c,„— = konst. = — c, 



hvilket bevisar vårt påstående, enär det tydligen är sant tor 

 m = 2 på grund af identiteten (5). 



Låt nu z■^^ . . . z^-, vara ett fundamentalsystem till systemet 

 (1), så kan man enligt hjälpsatsen välja konstanterna a,i. så^ 

 att om 



^ci.ék 



(i = l...n) 



A- = l 



determinanten D{z^ . . . z,n | .^■]) ej är identiskt noll. 

 Då satisfiera z^ . . . z,n följande system 



YTn + P^i ^-^;r^ + . . . + Pmiz = O 



ox^ ox^ 



(A) 



\ dz _ d"'-^z 



+ Pl 



(i = 2.. n) 



där koefficienterna 



-1 



(6) 



P^"-D{z,...z,4x,) 



Q„i^v-\z^ Qni~^ Qm -v+ 1~^ Qm - 1^^ 



m — v — 1 



dx?-"-' dxT dxT-"^' dx^ 



m — v + l 





O m — )' — 1 o m a 

 OX, OX, OX 



m — v +1 

 1 



X, 



P'"-D{z,...z„,\x,) 



Qm-v- \^^ Qz^ Qm - v+ 1^^ d"'-^Z^ 



^ m-.-l^,,.^ . 





m — v + 1 



da 



"" dx";-"-^ dxi. dxl 



/r = l...m\ 

 .\i = 2..n) 



hafva fullt bestämda värden. 



Systemet {Ä) är den FuCHS'ska normalformen.') Det kan 



tydligen erhållas genom att i (1) införa de nya variablerna och 



') Fuchs begagnar icke någon Variabeltransformation och kommer därför till 

 ett oriktigt resultat. Att hans sats 1. c. sid. 167: z satisfierar i afseende på. 



