738 GRÖNWALL, LINEÄRA TOTALA DIFFERENTIALEKVATIONER. 



så blir 



ß 



eller genom lösning i afseende på derivatorna 



ß 

 där a4,5pY äro potensserier af .t\ — .«^, . . ., ^Vn — .c^ konvergenta 

 inom B, enär Z^4=0 inom detta område. 

 Funktionerna 



6,5i . . . CSm 



äro enligt (10) partikulärlösningar till (11); de bilda ett funda- 

 mentalsystem, ty enligt (10) är 



I /^„ , I „ , _ I ^cxß I a, ß = l . m , n. 



I H'' I <l ß=i--m — f^r—\ =1= ^ • 



i ^^ap I «, /j = l, . .m 



På grund häraf kunna Äi'^ßy uttryckas i determinantform 



genom Cf'^ß och -k-— och äro således oberoende af x^. Således: 



C()ß bilda ett fundamentalsystem med begynnelsevärdena Cßß^=^l, 

 Csß — 0{ö =^ ß) för x^ = .^'2, . . ., A',(=.t'° till systemet (11), hvars 

 koefficienter äro potensserier i .v., — cc^,...,.Xn — x konvergenta 

 inom M. Csß kunna alltså framställas som potensserier i 

 dessa variabler, konvergenta åtminstone för 1^2 — "^"2 I "^ '• ' • ' 

 \xn — x^\<,r„. Genom insättning i (10) följer, att den ut- 

 talade satsen är sann för ii variabler, då den gällde för n — 1 

 variabler. 



Denna sats ger oss således, om vi analytiskt fortsätta de 

 i omgifningen af ett regulärt ställe giltiga uttrycken för ett 

 fundamentalsystem, en undre gräns för fortsättningens konver- 

 gensradie. Vi kunna således framställa och studera det gifna 

 fundamentalsystemet i omgifningen till hvarje icke singulär punkt. 



