ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1805, N:0 0. 739 



När vi nu öfvergå till studiet af lösningarnc till {A) i oni- 

 gifningen af singulära ställen till Ivoefficienterna, utesluta vi 

 redan från början alla väsentligt singulära ställen från vår 

 undersökning. Vi antaga således att koefficienterna yv^,- äro af 

 rationel karakter inom ett område B, definieradt af 



\xi — a^^\<r^, . . . , I .t'„ — a:l \ < r„ 



(där några eller alla f\ naturligtvis kunna vara oändliga). ') 



Är en funktion /(jTj . . . a*„) af rationel karakter inom R, sä 



kan den, enligt en af Cousin (Acta Mathematica Bd. 19) be- 

 visad sats, framställas under formen 



Å^'i ■ • ■ '^'«) == 



O 





där P och Q äro potensserier utan gemensam divisor, som kon- 

 vergera inom R. Uppdelas Q i sina irreduktibla faktorer 



(^j , (^2 : • • • ■ 



där Qj , Qo • • • äro potensserier konvergenta inom R, hvilka 

 ej kunna uppdelas i produkter af potensserier med samma kon- 

 vergensområde, så finnas hela tal a,, «j, ... sådana att 



_Q_ 



Ql" 



kan utvecklas i en inom R konvergent potensserie, som ej är 

 delbar med Q,,. De af 



Qj = O , Q., = O , . . . 



definierade (2n — 2)-dimensionala bilderna kalla vi efter Horn 

 singulära bilder till f{x^ . . . x^). Inom hvarje område R', defi- 

 nieradt af 



I ^1 — Ä?J |<9-'j <ri •, . . ., I Xn — /, I < r'n < '■„ 



') Denna inskränkning är icke nödvändig, ty, såsom jag i en följande afhandling 

 skall visa, låta de satser, på hvilka den följande undersökningen stöder sig, 

 specielt den med Laueents teorem analoga satsen, generalisera sig till det 

 fall, att inom R förekomma godtyckliga singulariteter. Men som detta är 

 obehöfligt för de följande användningarna, har jag icke ansett det nödigt 

 att bibehålla den största möjliga allmängiltighet. 



