740 GRÖNWALL, LINEÄRA TOTALA DIFFERENTIALEKVATIONER. 



finnes endast ett ändligt antal singulära bilder, ty i motsatt 

 fall skulle inom R' förekomma väsentliga singulariteter tiü 

 f{x^ . . . x„). Bilden Q^^O är tydligen en algebroidisk bild inom 

 R\ och på grund af irreduktibiliteten hos Q« är denna bild 

 monogen. 



Är nu F{x^ . . . x^) en mångtydig funktion, som förhåller 

 sig regulärt öfverallt inom R utom möjligen för ställen till- 

 hörande de singulära bilderna 



Qi = O , Qo = O , ... 



så kan man, på alldeles samma sätt som i teorin för funktioner 

 af en variabel, bevisa följande sats: 



Om man analytiskt fortsätter ett element af F{x^ . . . x^ 

 längs en sluten väg i det 2?i-dimensionala området for .'Pj .,.ä?„, 

 som kan sammandragas till en punkt utan att öfverskrida någon 

 af de singulära bilderna, så återkommer man efter fortsättningen 

 till identiskt samma element. 



Göra vi följande definition: en sluten väg gör X omlopp 

 kring den singulära bilden Q = O, om argumentet för den kom- 

 plexa storheten Q ökas med 2yrz • A, då variablerna genomlöpa 

 den slutna vägen, så kunna vi genom identiskt samma resonne- 

 raang som Horn (Acta Math. Bd 12, sid. 117 — 123) öfvertyga 

 oss om, att följande väg kan på det ofvan nämnda sättet sam- 

 mandragas till en punkt. 



Från en punkt x^ = a^ , . . . , Xn^ cin i omgifningen af ett 

 ställe på den singulära bilden Q = O gör den ett omlopp i 

 positiv led kring Q = O, går därefter, tillräckligt nära Q = O 

 för att ej omsluta någon annan singulär bild, till ett annat 

 ställe x^ = «'i, • • •, •'Cra = (i'/i också i omgifningen af Q — O, gör 

 ett omlopp i negativ led kring. den singulära bilden och följer 

 den förut nämnda vägen från a', . . . a'„ tillbaka till «j . . . a„. 



Således blir F(x^ . . .Xn) oförändrad vid detta omlopp, hvilket 

 också kan uttryckas på följande sätt: F(x^ . . . x„) har samma 

 analytiska karakter för hvarje omlopp kring en och samma 

 singulära bild. 



