742 GRÖNWALL, LINEÄRA TOTALA DIFFERENTIALEKVATIONER. 



(15) 



to,z. 



= CÜ.Z^ + z. 



Zp = CO-^^Zp -{- Zp-i 

 Zp + \ = CO^Zp + i 



Af dessa oniloppsrelationer sluta vi genast, att ifrågavarande 

 lösningar äro af formen 



■2 ^f'^'ifPii + i(Pu) 



(16)' , / , t(t-l)...(t—p + l) ' 



^ ^^ ^P =M%" "^ ^"fp-"'' +■■■ + - -j^^ \n 



där 



(17) 



2fr^ 

 1 



log w« 



log/(^, . ...r«) 



och alla q)aß äro funktioner, livilka icke förändras vid något 

 omlopp kring / = O, som icke pä samma gång omsluter en eller 

 flera af de öfriga singulära bilderna. 



För att finna analytiska uttryck för funktionerna q^aß, skola 

 vi bevisa följande sats, som är analog med den LAURENT'ska 

 satsen i teorin för funktioner af en variabel: 



Om en analytisk funktion F{x-y , . . . , a'„) är entydig inom 

 området 



{Q) 



I Ä-, — Cfj I < (I, , . . . , I Xn -- an\< Qn 



och förhåller sig regulärt öfverallt inom detta område atom för 

 de värden, som tillhöra bilden 



yj{{c^ . . . Ä"„) = O 



