746 GRÖNWALL, LINEÄRA TOTALA DIFFERENTIALEKVATIONER. 



och genoin att lösa detta ekvationssystem i afseende pä ^„-j 

 finner man 



^aß=fl^Gf\\ogf,) + fl^GfXlogf,) + . . . 



där G["^^ är polynom i log/, med vid omlopp kring /o = ^ 

 entydiga koefficienter. Genom insättning i (17)' fås 



(19) ^«=/f«}/:'ö,«(l0g/i, \0gf,)+f:^G,a{\0gf„ l0g/,) + ...[ 



där koefficienterna i polynomen G,,,t äro entydiga vid omlopp 

 kring både f^ = Ö och f^ ^= 0. De kunna således i omgifningen 

 till a^ ... Un utvecklas efter den allmänna satsen (sid. 742) om vi 

 där sätta ip =/j -f^. 



Genom insättning af (19) i systemet (^4) finner man, att 

 om skillnaderna mellan de olika o ej äro hela tal, hvarje sär- 

 skildt uttryck 



fi^r/Gß^i^ogf, , log/,) 



måste satisfiera vårt system. Vi kunna således anta fundamen- 

 talsystemet gifvet under formen 



(20) .„ =/r/^^«(log/. , log/,) . («=!....) 

 Men nu inser man lätt, att hvarje uttryck af formen 



^ o, d^^f^Ga{\0gf, , log/,) 

 ■ ' • ' ^(Iog/,)^-^(l0g/2)" 



också satisfierar {A). Enär dessa kunna lineärt uttryckas i 

 fundamentalsystemet (20), finnas vissa relationer mellan koeffi- 

 cienterna i Gai hvilka äro lätta att härleda och som fullständigt 

 bestämma dessa polynom. 



För att utföra beräkningen af koefficienterna T^y'^ i ut- 

 vecklingarna (18) kunna vi förfara på följande sätt: 



Antag att aj , . . . , a„ tillhör endast den singulära bilden 



/ =0 och ingen annan, och att —^ 4= O för .t-j = a, , . . . , .r„ = a„ . 

 Då kan man fixera en omgifning R till detta ställe 

 (i?') I ■^"i — «1 I < ^^' , • • • . I •^"« — «« I < r'n 



