■ÖFVERSIGT AF K. VETENSlv.-AKAD. FÖRIf ANDLINOAU 181)5, i\:() J). 74\) 



hviirs koefficienter, på grund af" formen pä Jj, förhålla sig 

 regulärt för 



I .^2 — «2 I < ^'2 r • • • ' I '^» — <-ln I < r',, , 



enär de på grund af integrabilitetsvilkoren voro oberoende af x. 

 Enligt existensteoreinet kunna vi således framställa C(^„ så- 

 som potensserier 



C,)a = PSai^Vo — Cl.,, . . . , X„ a„) 



konvergenta inom det ifrågavarande området. 



Genom insättning i (24) och genom att åter införa w^ som 

 variabel i stället för a-, erhålla vi den sökta framställningen 

 inom R' af ett fundamentalsystem till (Ä). 



Genom det viktiga resultat, att på grund af integrabilitets- 

 vilkoren ett fundamentalsystem till (^4) kan framställas under 

 formen (24), där Csa förhålla sig regulärt, äro alla frågor af 

 allmänt funktionsteoretisk natur angående lösningarne till {A) 

 återförda till motsvarande frågor för eii vanlig differentialekva- 

 tion i X, nämligen den första af (^'), och kunna således lösas 

 utan användning af andra hjälpmedel än dem den vanliga teorin 

 för lineära differentialekvationer har utbildat. Detta gäller dock 

 endast så länge man håller sig inom ett område B! med de 

 ofvan framstälda egenskaperna. 



För att utsträcka de inom ett sådant område gjorda under- 

 sökningarne till hvarje punkt i vårt ursprungliga område i?, 

 erbjuder den (sid. 742) framstälda generalisationen af den Lau- 

 EENT'ska satsen ett för många fall fullt tillräckligt hjälpmedel. 



Den metod man härvid kan följa skola vi nu framställa 

 vid behandlingen af den fråga, som utgör målet för denna af- 

 handling, nämligen frågan om lösningarnes bestämdhetsförhållande. 

 Detta problem kan formuleras på följande sätt: Sök nödvändiga 

 och tillräckliga vilkoret för att ett fundamentalsvstem 



skall i omgifningen af hvarje punkt a, , . .., a„ inom R kunna 

 framställas under formen 



