752 GRÖNWALL, LINEÄRA TOTALA DIFFERENTIALEKVATIONER. 



Af rekursionsfonneln (29) erbålles 



där hr är determinanten 



«2o(e) "-iiiQ) ^22(?) 



a,,_i, o(c) «7'-Ll(?) «r-i, sC?) • • • «^'y-l, ) -i((') 

 «ro(?) ('rl(Q) ay'iiQ) ■ ■ • «r, ,■ - l(?) • 



Lät nu r^, ?^j , . . . , r^ vara de till en och samma grupp 

 liörande rötterna till den determinerande ekvationen /o(o) = O, 

 så att 



^ — '^i 



+ q,, , cjy. = helt tal, O = q^ < q^^i-i < ■ ■ . < q^ 



€ch antag roten r^ vara en A;,-faldig rot. 



Om iV är största skillnaden mellan två till någon af grup- 

 perna hörande rötter, så är för 



9o{q) = «n(?) • • • «Aw(?) 

 hvarje (-/rio) ändligt för q i en viss omgifning till någon af 

 rötterna till (27), och som 



a,,,{Q) = f^{Q + v) 



på grund af (28) är oberoende af a;^, . . ., .Vn- sa äro koefficienterna 

 i g(a;, q) potensserier i a\y — «2, . . ., .i',j — a« . 

 Uttrycken 



g%t , r,) 



■ Af, -;.,-...-/.;,_ 1 = o, 1, .../;,- 1 



— där g%v, q) = 



d'g{x, q) 



y. = 0,1, ... U 



äro lösningar till D(ai) = O, 



och sammanfattningen af alla till de olika rotgrupperna hörande 

 sädana uttryck bildar ett fundamentalsystem 



7 7 



som tydligen uppfyller de förut stälda vilkoren för att de med 

 hjälp af detsamma bildade ekvationerna 



