754 GRÖNWALL, LINEÄRA TOTALA DIFFERENTIALEKVATIONER. 



bild, i hvilket funktionen icke vore regulär, i en sådan närhet 

 till flj , ..., a„, att konvergensområdet för den i onigifningen 

 till a'j , . . . , a' n gällande utvecklingen 



^(..„ .... .,)=y ^ '<"'^ "'-.■;■ •"--'°'") 



v = o '" 



och konvergensorarådet för den regulära utvecklingen i onigif- 

 ningen af ttj , . . . , <7,j hade någon del gemensam. Men som de 

 båda uttrycken inom denna del öfverensstämma, kan utvecklingen 

 kring a'j , ..., a'„ ej innehålla några negativa potenser af/^. 



Som nu en kontinuerlig öfvergång från Oj , . . . , a„ till ett 

 godtyckligt ställe på f^^ = O kan förmedlas genom ett ändligt 

 antal ställen sådana, att hvarje efterföljande ligger i det före- 

 gåendes omgifning, ^) så finna vi genom att upprepa samma 

 slutledning, att (f{x^ , • • • , oß^ förhåller sig regulärt för hvarje 

 ställe på y^jt = O, som kan erhållas ur öj, . . ., a„ genom kontinu- 

 erlig öfvergång utan öfverskridande af någon af de öfriga singu- 

 lära bilderna. 



Betrakta vi nu (f{fc^ , • • ■, -^m) i omgifningen af den för bilderna 

 /„=0, . . ., /y = gemensamma punkten a", . . . «"„, som för öfrigt 

 antages så belägen, att funktionen enligt det nyss bevisade för- 

 håller sig regulärt för ställen på j\^ =^ O i hvarje närhet till 

 ci\ , . . . , rt"«, så måste utvecklingen i denna punkt 



«„..«,, = o -^/^ •■•■> y 



icke innehålla några negativa potenser af f^^. 



Detta uttryck kan således utvecklas i potensserie för alla 

 punkter på y^ = O i omgifningen af a"j , . . ., «"„, som ej tillhöra 

 de öfriga singulära bilderna, och genom att fortsätta detta 

 resonnemang kunna vi utsträcka regularitetsområdet för c/) till 

 det i satsen angifna. 



') Detta är en följd af monogeneiteten hos bilden /^i = 0. 



