764 BRODÉN, UEBER UNENDLICH OFT OSCILLIRENDE PUNKTIONEN. 



struktionen selbst, alt auch die Darlegung, dass sie wirklich 

 zu den erwünschten Funktionenverhältnissen führen, lassen sich 

 bedeutend vereinfachen, wie ich auf anderer Stelle in Zusammen- 

 hange mit ausführlichen Untersuchungen verwandter Fragen 

 zeigen werde. 



Auch für stetige und derivirbare Funktionen, welche der 

 zweiten der erwähnten Arten gehören, lassen sich derartige di- 

 rekte Darstellungen finden. Hierauf werde ich doch gegenwärtig 

 nicht eingehen. Dagegen erlaube ich mir im Folgenden eine 

 einfache Methode herzustellen, mittels welcher man aus gewissen 

 stetigen und derivirbaren Funktionen o]ine Max. -Min. Funk- 

 tionen der nun fraglichen Art herleiten kann. 



2. Es sei 



(1) to, , w., , (-0.^ , ... w„ , ... in inf. 



eine abzählbare, aber in einem gewissen Intervalle A überalt 

 kondensirte Werthmenge, und (fix) eine mit a' durchaus wach- 

 sende, stetige Funktion, welche für alle endliche x eine be- 

 stimmte, endliche (positive) und stetig sich ändernde Ableitung 

 (p'{x) hat, mit Ausnahme für x ■= 0, indem ^'(0) = oo ist 

 (oder (p{x) habe wenigstens diese Eigenschaften im Gebiete 

 — /<A'< + /, wo / die Länge des Intervalles A bedeutet). 

 Man bilde nach dem von Weierstrass angegebene »Condensations- 

 principe»^) eine Funktion 



00 



(2) ip(a;) =^Cnq)(x — w„) , c„ > , 



71 = 1 



welche im Intervalle A stetig ist und die Ableitung 



CO 



(o) ijj'(a;) =^^c„(p'(x — w„) 



besitzt, welche für alle im Systeme (1) nicht eingehende x einen 

 endlichen Werth hat. Da alle cp(x — con) mit x durchaus 

 wachsen, und alle Cn > sind, so wächst auch ip{x) durchaus 



') S. G. Cantor, Math. Annalen XIX, p. 588—94. Vgl. unten, § 4. 



