ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1895, N:0 10. 765 



init w, und in (//(.f) ist jedes Glied > 0; nur wird für alle 

 x = a},t ein Glied in ip'{x) unendlich gross, und also auch 

 if/(a') = CO. 



Man betrachte eine beliebige Stelle w«. Für hinreichend 

 kleinen Werth von | .^• — w„ J ist g)'(.r — w„) beliebig gross, und 

 also auch Cnq)'{x — w„) beliebig gross. Da in (3) negative Glie- 

 der nicht vorkommen, ist aber »//(a-) > c„^'(.'c — w„). Also liegt 

 für eine hinreichend kleine Umgebung von w,, die Derivirte 

 xp'{x) oberhalb einer beliebigen Grenze. Ferner ist niemals 



^J■{x) = 0. 



Es bedeute nun F{x) die Ufnkehrnng der Funktion (/'(.??). 

 Es ist auch F(x) eine Funktion, welche in 'einem gewissen In- 

 tervalle B stetig ist und mit ,x durchaus wächst; für die ab- 

 zählbare, aber im Intervalle B überall kondensirte Menge von 

 ct'-Werthen 



^(Wj) , qp(a>2 ,) (fiw^) , . . . cp{w„) , . . . 

 oder kurz 



(4) «1 , «2 ' «3 ' • • • «w 5 • • • 



ist F'(x) = 0; für alle andere x hat F'(a;) einen bestimten end- 

 lichen Werth > 0; aber in einer hinreichend kleinen Umgebung 

 einer Stelle a„ liegt F(cc) unter einer beliebig kleinen Grenze. 

 Die Stellen, wo F(x) grösser ist als eine gewisse positive Grösse 

 k, können somit — da die a„ überall condensirt sind — in 

 keinem Partialintervalle überall kondensirt sein. 



Anderseits bilden alle Stellen, wo F{x) > ist, eine nicht- 

 abzählbare Menge (da die Nullstellen abzählbar sind). Hieraus 

 folgt, dass wenn k hinreichend klein aber > ist, schon die- 

 jenigen Stellen, wo F'(j;) > k ist, eine nicht-abzählbare Menge 

 bilden. Man nehme nänilioh an, dass für einen gewissen ^-Werth 

 — /•, diese Menge abzählbar ist, und es sei k^, k^, ... å;„, ... 

 eine Grössenreihe, welche die Bedingungen k^+x < kn, lim k„ = 



n= 00 



erfüllt; wenn für jeden w-Werth die Stellen, wo kn > F{x) > k^+i 

 ist, abzählbar wären, so würde man durch successive Hinzu- 



