766 BRODÉN, UEBER UNENDLICH OFT OSCILLIRENDE FUNKTIONEN. 



Fügung aller Stellen, welche bei unbegrenzt wachsendem n die 

 Bedingung kn>F'(^x) "> K+\ erfüllen, eine abzählbare Menge 

 abzählbarer Mengen von A*-Werthen erhalten, d. h. eine ab- 

 zählbare ^-Menge; anderseits erreicht man bei diesem Verfahren 

 alle überhaupt mögliche positive Werthe von F'(a;), welche < k^ 

 sind; folglich würden die ^t^-Werthe mit <i F'(a;)<.ky^, und 

 somit auch sämmtliche .%% für welche F'(a:) > ist, abzählbar 

 sein. Da dies nicht der Fall ist, muss es also einen ersten n- 

 Werth geben, für welchen die Stellen mit A;„ > jP'(a') > ^„+i, 

 und also sämmtliche Stellen mit F'(a;) > /•,,+i eine nicht-abzählbare 

 Menge bilden. 



3. Gesetzt also, dass für ein nicht-abzählbares System von 

 ^-Werthen F'(a;) > ä; > ist, nehme man eine andere positive 

 Grösse m ^ k, und bilde die stetige Funktion 



(5) f{.v) = F(x) - ma= , 

 deren Ableitung 



(6) f'{x) = F{x) — m 



ist.' 



Für jede Stelle «„ ist F{x) = 0, also f'(x) = — m. Und 

 in einer hinreichend kleinen Umgebung von «„ ist F'(a:) überall 

 < m, also f'(a;) < 0. Da die «„ im Intervalle B überall konden- 

 sirt sind, giebt es folglich eine nicht-abzählbare und im ganzen Inter- 

 valle kondensirte Menge von Stellen, wo f'{^) < ist. Andei'seits 

 ist ja F'{a;) > k, und also, da k>7n ist, /'(■*') >0 für eine nicht- 

 abzählbare aber in keinem Partialintervalle kondensirte Menge 

 von ^-Werthen. Diese Menge muss, wie jede nicht-ahzählbare 

 Menge, ein nicht-abzählbares System von Häufungsstellen besit- 

 zen. In einer beliebig kleinen (oberen oder unteren) Nähe einer 

 solchen Häufungsstelle liegen Stellen mit /'(-^O > 0, aber ander- 

 seits auch Stellen mit f'{a;) < 0, da die Gesammtheit solcher 

 Stellen ja überall kondensirt ist. Dies bedeutet aber, dass in 

 der Nähe der fraglichen Stelle die Funktion /(.r) unendlich oft 



') Vergl. .Di7ii, Foiidarnenti per la teorica delle funzioni di variabili reali, Pisa 

 1878, §§ 141-172. 



