768 BRODÉN, ÜEBER UNENDLICH OFT OSCILLIRENDE FUNKTIONEN. 



von A'-Werthen iileich Null ist und in einer hinreichend kleinen 

 Umgebung einer solchen Stelle überall unter einer beliebig kleinen 

 Grenze liegt, aber für eine nicht-abzählbare c?;-Menge > ist. 

 Auch lässt sich die Sache zu dem Falle ausdehnen, dass wenigstens 

 an gewissen Stellen eine vordere Derivirte F+'{x) und eine 

 davon verschiedene hintere Derivirte F^{x) existiren. Durch 

 Grenzübergang mit einer gewissen Art gebrochener Linien ist 

 es mir (wie ich auf anderer Stelle darstellen werde) in der That 

 gelungen, eine Funktion F{x) mit folgenden Eigenschaften zu 

 bekommen: F{x) ist stetig und nimmt mit x durchaus zu; für 

 eine überall kondensirte und nicht-abzählbare Menge von x- 

 Werthen existirt eine bestimmte Derivirte F'{x) > 0; für eine 

 andere überall kondensirte und nicht- abzählbare ^'-Menge ist 

 F{x) = 0; die restirenden A?-Werthe bilden eine überall konden- 

 sirte, aber abzählbare Menge, für welche F+'{x) und F^{x) ver- 

 schieden sind, indem F+'(x) > 0, F_'(x) = ist; und in einer 

 hinreichend kleinen Umgebung einer Stelle mit F(x) = bez. in 

 einer hinreichend kleinen unteren Nähe einer Stelle mit /^_'(a') = 

 liegt F'(x) oder /^+'(.^') beliebig Nahe an Null. 



Die aus diesen Funktionen F(x) hervorgehenden f(x) haben 

 entsprechende Eigenschaften. 



