180 DE BRUN, OM INVARIANTS HYPERELLIPTISKA LIKHETER. 



Vidare erh ålles 



Pq-v (% — u x , r n — u 2 , . . . ; ^ + v x , rf % + v 2 . . .) 

 P ? (u t u 2 . . . ; v x v 2 . . .) = cj _ " P 7 , (w^ . . . ; v x v 2 . . .) , / (14) 



= 1, 2...(Q-l)). 



Skulle rangen vara två, blefve P 1 (uv) och P 2 (uv) bestämda 

 genom följande likheter: 



P x (w + co, co l — v) P 2 (u, v) = c i P l (u, t') 

 P l (rj — u, v + rf) P 2 (u, v) = CjPj^«, t') 

 P 2 (u + co, to 1 — v) P 2 (u, v) = c" 

 P 2 (tj — u, v + rf) P 2 (u, v) = ej 



v P 1 (u + 2co, v) = Pj(u, v) 

 P x {u, v+2rf) = P l (u, v) 

 P 2 (u + 2co, v) — P 2 (u, v) 

 P 2 (u, v + 2rf) = P 2 (u, v) . 



Af dessa senare likheter är utan vidare klart, att P x (u, v) 

 och P 2 (ii, v) äro dubbelperiodiska funktioner med afseende på 

 hvar och en af u och v. Då de dessutom äro entydiga och af 

 rationel karaktär, måste de låta uttrycka sig rationelt genom 

 pu, pv och p'v . Man jemföre härmed Picards sats och Jacobis 

 bekanta afhandling i ett af de tidigare banden af Crelles 

 Journal. 



Låta vi rangen vara tre, erhålla vi, att P^uv^v^) är ra- 

 tionel funktion af pu och pu med koefficienter, som äro funk- 

 tioner af Uj och v 2 , hvilka i allmänhet hafva mer än två peri- 

 oder. 1 sjelfva verket bringas integralen 



C Q 2 — c r ) dx 



J y * (« — 1) O — Ci) O — c 2 ) (as — c 3 ) |a? — |Wa? — ^) 

 genom Substitutionen 



.« + J - = ä 



