186 FRANSEN, SUR UNE EXTENSION DE LA FORMULE DE GREEN. 



et l'integrale curviligne, prise le long du contour fermé, de l'ex- 

 pression 



dv 



du 



dn on 



Voici donc la formule de Green dans le plan 



I I (iiJv — vJii) dxdy + in 



dv 

 dn 



v^\ds = 

 dn] 



o. Cette formule étant tres utile, on peut espérer qu'il 

 soit utile aussi d'en chercher une extension immédiate. Je 

 prends l'integrale double de l'expression 



(uz/v — vJu)f(u, v) 



et l'integrale curviligne de l'expression 



/ dv du\ e , N 



en multipliant les expressions traditionnelles de la formule de 

 Green par une fonction continue, qu'on peut choisii" a volonte.. 

 Ann d'etablir la formule de Green on se sert de l'identite 



d I dv du\ d l dv du\ . 



^- \u ^. o r + -w- [u-t. V -5- I = uJv — vJu . 



dx\ dx dx] dy\ dy dy] 



Je dois donc nie servir de l'identite 



d_ 

 dx 



I dv du\ 



+ 



(i 



dv 



du\ ,. N 



d y\\ dy 



= (uJv — v Ju) t\u , v) + R , 



en posant 



p _/ dv du\ldf du dfdv\ I dv dic\idf du df dv\ 

 \ dx dxj\dudx dv dx) \ dy dyj\dudy de dy) " 



La formule généralisée n'est autre chose que 

 I I [{uJv — vJu)f(u , v) + K] dxdy + 1 1 u ^ v -~- )f(u, v) ds = 0.: 



4. Cela pose, choisissons la fonction f{u, v) d'une maniére 

 convenable. L'expression R est une forme quadratique et homo- 



