188 FRANSEN, SUR UNE EXTENSION DE LA FORMULE DE GREEN. 



Alors on aar a 



df _1 ,,iu y 



du v 



Öf _ u „ iu 



dv v 2 ^ \ v 



Par suite 



et 



- 2/' 



R 



B = 2-fl- 



v J \v 



c 



~4f(~) 



du u dv\ 2 i du u dvV 

 dx v dx) \dy v dy) 



/'(" 



Introduisons la fonction continue et toujours positive ! ) 



dv du\ 2 i dv du\ 2 



S 



Donc 



du\ 2 / dv 



w ä v ir) + M ä v x 



dx dx! \ dy dyj 



R=-^f{- 



v \ v 



et la formule finale du § 3 se réduit a 



S 





dxdy + 



dv du\ „lu 



dn öi 



5. Pour que l'expression R garde un signe invariable et 

 qu'elle soit toujours negative, u et v étant des fonctions quel- 

 conques, il faut encore que 



4)>°- 



Pour que R soit une fonction continue, quand meine la fonction 

 v s'annule d'une maniere quelconque ä l'interieur du contour 

 fermé, il faut que 



/'(± ~) = o. 



*) On retrouvp cette expression dans le memoire de M. Schwarz, publié å 

 l'occasion du jubilé de Weierstrass (Acta Soc. Sc. Fennicae, 1885), § 20, 

 formule (26). 



