190 FRANSEN, SUR UNE EXTENSION DE LA FORMULE DE GREEN. 



a 1'intérieur du domaine considéré. Ordinairement les fonctions 

 u et v satisfont å 1'équation de Laplace, c'est-a-dire on a 



Ju = , Jv = 0. 



Mais il est possible d'etendre l'application ä un cas plus gene- 

 ral. II suffit de faire (dans le cas du plan) 



du dv , v 



— = — = plx, y) , 

 u v ry i,! 



en désignant par p(x, y) une fonction quelconque, continue ou 

 discontinue, finie ou infinie. Je suppose donc que u et v soient 

 deux solutions continues quelconques de l'equation 



du = p(x , y) u , 



cette équation qui, en supposant la fonction p(x, y) continue, a 

 été l'objet des recherches de M. Schwarz (en 1885, mém. cite) 

 et de M. Picard (en 1889, Acta math. 12) dans deux mé- 

 raoires d'une iraportance fondamentale. Alors on aura 



(uJv — vJu)f[~\ = , 



puisque (§ 5, 6) 



fi — j = une fonction toujours finie. 



Par suite la formule finale du § 4 se réduit å 



jßj' (" ) d * d V =J (" Tn - V ^) / (!f) Ch • 



8. Examinons le premier membre de cette formule pour 

 v = 0. II peut s'ecrire (§ 4, 5) 



Le quotient 



u dv du\ 2 tu dv du\ 2 

 v dx dxj \v dy dyj 



e k 2 dxdy 



