ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1897, N:0 3. 191 



peut étre fini, infini ou complétement indétenniné. Pour u<0 

 le quotient X est fini, et 1'intégrale double qui précéde est finie 

 aussi. Pour v = et m50 le quotient X est infini, mais 1'in- 

 tégrale double s'annule, puisque 



lim er- ^ = , lim Xe~ ? - 2 = , lim V- er ; - 2 = , 

 quand 



lim X = ± co . 



Pour v = et u = siroultanément, le quotient l est com- 

 plétement indétenniné (fini ou infini); par suite 1'intégrale double 

 est indéterminée aussi, mais finie. Donc il faut supposer que 

 1'aire ou et u et v s'annulent siroultanément, tende vers zéro. 

 Cette condition est remplie, si par exemple 1'aire totale ou v 

 s'annule, tend vers zéro. Il suffira donc que v s'annule seule- 

 ment dans un nombre fini de points isolés et le long de courbes 

 dont la longueur totale soit finie. 



9. Je suppose donc qu'on peut partager 1'aire initiale par 

 un nombre fini de courbes dans un nombre fini d'aires partielles 

 de teile maniére que toutes les courbes v(x, ?/) = appartien- 

 nent aux contours et que nulle courbe v(x, y) — n'existe a 

 1'intérieur des domaines partiels. Alors on peut évidemment 

 appliquer la formule finale du § 7 aux domaines partiels suc- 

 cessivement et former une somme finie d'integrales doubles et 

 curvilignes, étendues aux aires partielles et ä leurs contours 

 term és. Or, la somme de toutes les integrales doubles, étendues 

 aux aires partielles, égale å 1'intégrale de l'aire initiale. Par 

 suite 



3m^ 



lxdy = 



>[ dv du\ Ju\ , \ ^ C 2 h dv du 



— V — I 



u Tu - " sKJ;) ,h + Yji '(" a - " 9^) ds ' 



en prenant 1'intégrale curviligne 1) le long du contour initial et 

 les integrales curvilignes 2) le long de toutes les autres lignes, 

 formant les contours partiels, a 1'intérieur du contour initial, de 

 Fun et de l'autre sens (en avant et en arriére). Donc les in- 



