194 FRANSEN, SUR UNB EXTENSION DE LA FORMULE DE GREEN. 



Pour les autres parties, oü v ne s'annule pas, on aura (§ 5) 



o 

 /( — ) = / e — y1 - 2 dl = une co n staute arbitraire. 



a 



J'annule cette constante en mettant a = 0. Donc on aura 



dv du\ Au 



u 



dn dnr \ v ' 



tout le long du contour initial. Far suite 



et la formule finale du § 9 se réduit a 



dv 7 

 \u -x- las , 



dn\ 



ces dernieres integrales curvilignes étant prises le long des lignes 



oü v change de signe et u 2S ä l'interieur du contour initial. 



11. Considérons le cas particulier oü la fonction v ne 



change pas de signe ä l'interieur du contour. Alors on aura 



(§ 10) 



—^e ^ dx dy = , 



par suite 



S = 



dans toute la region que limite le contour fermé. On aura 

 donc simultanément (§ 4) 



dv du ~ dv du _ 



u ö ü ^- = 0, u -3 ■ u — = ; 



dx dx dy dy 



par suite 



u = cv , 



c étant une constante arbitraire. Or on a supposé que u = 

 sur tout le contour. Donc il faut admettre, ou que c — 0, ou 

 que v — sur tout le contour. 



