ÖFVERSIGT AF K. VETBNSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1897, N:0 3. 195 



12. D'abord, si la fonction v prend sur le contour une 

 succession de valeurs autre que zéro, il faut qne c = 0. Or 

 u = ev; par suite u = dans tout le domaine. Donc il n'existe 

 pas d'integrale continue de 1'équation 



Ju = p (x , y)u 



s'annulant sur tout le contour, autre que zéro. Cela pose, sup- 

 posons qu'il existe deux integrales continues, prenant sur le con- 

 tour la méme succession de valeurs, s'annulant ou non å 1'in- 

 térieur. Envisageons leur dilférence. Elle est une integrale con- 

 tinue, s'annulant sur tout le contour. Donc eile ne signifie que 

 zéro. Par suite les deux integrales considérées auparavant sont 

 identiques. Donc toutes les integrales continues sont déterminées 

 ä Vintérieur du contour par leurs valeurs sur le contour, s'il 

 existe une integrale continue, ne s'annulant pas sur tout le con- 

 tour et ne changeant pas de signe ä Vintérieur du contour. Si 

 p(x, y) est une fonction analytique des variables reelles x et y 

 ]a proposition est une conséquence evidente des recherches de 

 M. Picard. x ) J'ai donc étendu le resultat au cas ou p{x, y) 

 désigne un quotient du type 



4q>(x, y) 

 cp(x, y) ' 



cp{x, y) étant une fonction continue ainsi que ses dérivées par- 

 tielles du premier et du second ordre (§ 2, 7). 



13. En second lieu, si la fonction v s'annule sur tout le 

 contour, la constante c (de la relation u = ev) reste arbitraire. 

 Donc, s'il existe une integrale continue v, s'annulant sur tout le 

 contour, mais ne changeant pas de signe a Vintérieur du contour, 

 alors V expression ev est V integrale continue la plus generale, 

 s'annulant sur tout le contour. Cela pose, soit v une integrale 

 continue quelconque, prenant une certaine succession de valeurs 

 le long du contour, et soit u 1'intégrale continue la plus gene- 

 rale, prenant la méme succession de valeurs le long du contour. 

 Envisageons la différence u — v. Elle est une integrale conti - 



') Voir Traité d'Analyse II, p. 31, § 24. 



