196 FRANSEN, SUR UNE EXTENSION DE LA FORMULE DE GREEN. 



nue, s'annulant sur tout le contour. Or, supposons qu'il existe 

 aussi une integrale continue w, s'annulant sur tout le contour, 

 mais ne changeant pas de signe a 1'intérieur du contour. Alors 

 l'expression cw est l'integrale continue la plus generale, s'an- 

 nulant sur tout le contour. Par suite la différence u — v sera 

 contenue dans l'expression cw, c étant une constante arbitraire. 

 Donc 



u — V = cw 

 et 



U = V + cw . 



C est Vintégrale continue la plus generale, prenant la meme 

 succession de valeurs que v. 



14. Nous allons éclaircir les resultats obtenus par un ex- 

 emple, J ) le plus simple possible. Envisageons l'equation 



du + a 2 u = , 



oü a représente une constante positive. L'integrale continue 



. ax . ay 

 ic = sin — = sin — = 



V2 V'2 

 est positive ä 1'intérieur du carré ayant pour cötés 



ttV2 7rV2 



x = o, * = — , y = o, y = - ir - 



Imaginons un contour quelconque a 1'intérieur de ce carré. 

 L'integrale w est positive ä 1'intérieur du contour considéré et 

 positive ou nulle sur le contour. Donc (§ 12) toutes les inte- 

 grales continues de l'equation 



Ju + aru = 

 sont déterminées au moyen de leurs valeurs sur un contour quel- 

 conque, situé å 1'intérieur du dit carré. Or, sur les cötés de 

 ce carré, l'integrale w s'annule en chaque point. Par suite (§ 

 13) l'expression cw est 1'intégrale continue la plus generale, 

 s'annulant tout le long des quatre cötés du carré. Supposons 

 maintenant que notre équation ait une integrale continue v, 

 ] ) Cfr Picard, Traité d'Analyse II, p. 26, § 20. 



