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Öfversigt af Kougl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 1897. N:o 3. 



Stockholm. 



Meddelanden från Stockholms Högskola. 



Note sur les fonctions et les nombres algébriques. 

 Par Hakon Grönwall. 



[Commnniquée le 10 Mars 1897 par G. Mittag-Leffler.] 

 1. 



Soit 



(i) y = \ <*vx v 



un element de la fonction algébrique définie par 1'équation 

 (2) F(s, y) = 0. 



Tout element de la fonction satisfait a une équation différen- 

 tielle linéaire a coefficients rationnels, appartenant å la classe 

 d'equations de M. Fuchs, et dont 1'ordre est au plus egal au 

 nombre n des branches de la fonction. Au point x = 0, ladite 

 équation donne, pour les coefficients a v , une formule linéaire et 

 homogene de récursion, qui ne contient qu'un nombre fini k de co- 

 efficients a v consécutifs. Soit cette formule 



«v+* = c (v) ■ a r + c, (v) • a„ +l + . . .+ c k ^ x (") «y+*— i 5 



eile montre que si k — 1 coefficients consécutifs sont égaux a 

 zéro, tons les coefficients suivants s'annulent aussi, de sorte que 

 y se réduit a un polynome. Ce cas exclu, on voit que la serie 

 des exposants dans le développement d'une fonction algébrique 

 ne peut presenter des lacunes d'etendue infinie, ou bien: 



