200 GRÖNWALL, FUNCTIONS ET NOMBRES ALGÉBRIQUES. 



Si, dans le développement 



cc 



(3) y = V^ (a, 4=0, v = 0, 1, ...) 



j' = 



e7 existe des exposants n v tels que la différmce n v+ i — n v tend 

 vers Vinfini avec v, y est une fonction transcendante de x. 



A cöté de cette proposition, on peut mettre un théoreme 

 analogue concernant les nombres algébriques. On appelle nombre 

 transcendant tout nombre qui ne satisfait a aucune équation 

 algébrique a coefficients entiers; leur existence a été déraontrée 

 par Lioüville et par M. Cantor ] ) par des méthodes qui ne 

 donnent cependant pas de moyen pratique pour en construire 

 des exemples. Dans les elements, on démontre que si a est un 

 entier plus grand que l'unite, tout nombre réel et positif peut 

 étre développé en une serie 



a o + / ~v 0<,a v < a , 



a? 



qui s'ecrit, en mettant en évidence les termes oü l'entier a v est 

 différent de zéro 



00 



(4) £,£ 0<ar<a. 



Cela pose, le théoreme en question s'enonce ainsi: 

 Si, dans le développement 



00 



._. Y^ a v 



(5) x = \ — O < a v < a , 



/ j a v 



VmQ 



il y a une infinite dHndices v pour' lesquels 



(6) ^ >*>(") 



') Voir Cantor, Acta math. T. 2 (1883) pp. 305—310 et 353—356. 



