ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1897, N:0 3. 201 



ou la fonction (piy) tend vers l'inßni avec v, x est un nombre 

 transcendant. 



Pour la demonstration, nous aurons besoin du lemme sui- 

 vant. *) Si, dans le développeraent 



00 



(7) y = \ -^ a > 1 , O < a v < a 



j' = 



il y a une infinite d'indices v pour lesquels la différence 



A; 7 / + i a;^ 

 tend vers 1'infini avec v, y ne peut étre un nombre rationnel. 

 Car supposons y = ~ , # et A etant des entiers, et multi- 



plions les deux membres de 1'égalité précédente par h • a v , v 

 étant indéterminé. Il vient 



G = h + -iA- — • V -f-V- = # + ^ . 



ou G et H sont des entiers. La serie entrant dans 1'expression 

 de ^ est évidemment plus grande que zéro et plus petite que la 



progression géométrique (a — 1)- \ — = a; déterminons main- 



tenant v de sorte que a ky+1 ~ ky > h • a, il s'ensuit O < r] < 1 

 e| 1'équation G = H + r\ devient absurde. 



Supposons maintenant que le nombre (5) satisfasse a une 

 équation algébrique ä coefficients entiers, soit 



(8) c = c x x + c 2 x 2 + . . . + c m x m . 

 En y portant 1'expression de x, il vient 



m m 



/•i = 2 = 1 n r ^ + ...+n r j=fi 



') Nous empruntons ce lemme, avec sa demonstration, d'une note de Stekn : 

 »lieber Irrationalität von Reihen. > Crelle's Journal, Band 95 (1883) pag. 

 197. 



