202 GRÖNWALL, FUNCTIONS ET NOMBRES ALGÉBRIQUES. 



Décomposons la serie du second membre en deux parties, l'une 

 obtenue en donnant aux v l , ..., vi des valeurs <.v (lequel 

 norabre est encore indéterminé), et l'autre provenant des termes 

 oü au raoins un des v x , . . ., vi est ^>»> + 1. La premiére partie 

 comprend, quand on la réduit a la forme (4), un nombre fini 



de puissances de — , dont la plus élevée est . 



r a l a m - n v 



Envisageons la seconde partie que nous appellons S 2 . Com nie 



le nombre des Solutions de l'equation 



n v \ + . . . + n r? = f.i 

 dont au moins une est !>n,, +1 , est egal å 



1 V(f( + 1- i) (ju — i) . . . (ja + 1 — i — l + 1) < 



< IQ.I + l-n n i) 2+ K:m(fj + 1— ?v+i) m+1 ; 

 et comme, de plus, a„, . . . a r} < a*<La m , on aura l ) 



< S 2 < V — V^ | ex | m(n + 1 — n r+1 ) m+1 a>» = 



1 V^ A • (u + l) m+l - (■■ . „. 



a 



n r+l / , aP 





»it. 



Or la serie entrant dans S a une valeur finie que nous écrivons 

 dans le Systeme de numération dont la base est a: a k a k + . . . 



a_ i a_ 2 < , - , ' a k 



+ or, a+ a n -1 — — \- — — + . . .; o„ sera donc egale a — -. + 



1 a a 2 3 n n v+i~ K 



l ) Si S 2 = O, 1'équation (8) admet la racine rationnelle x' = % et de- 



vient par suite réductible dans le domaine de rationnalité des nombres en- 

 tiers. x satisfait donc å une équation de dégré m — 1 å coefficients en- 

 tiers, et en répétant ce raisonnement on parvient ä une équation de la forme 

 (8) qui n'a plus de racine rationnelle et pour laquelle, par suite, S 2 ^> 

 pour toute valeur de v. 



