ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1897, N:0 3. 203 



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^ _ + . . . . A fortiori, le développement de «S 2 com- 



a 



>r + l 



mence par un terme dont le dégré en — est au moins n v+i — k. 



a 



Donc le développement du meinbre droit de (8) contient, pour 



v assez grand, une lacune entré les deux puissances de — aux 



a 



exposants m • n v et n v+ \ — k\ en vertu de (6) on peut choisir v 



si grand que la différence n,, +1 — k — ra • n v dépasse toute liinite 



donnée quelque grande qu'elle soit. 



L'application du lemme inontre alors que 1'égalité (8) est 

 impossible, le raembre gauche étant un nombre entier et le 

 membre droit un nombre irrationel. x ) C. Q. F. D. 



Ici se souleve naturellement une question curieuse et difti- 

 cile: peut-on, pour les nombres e et tz dont la transcendance 

 est constatée, trouver des entiers a tels que les développements 

 (5) de e et rt jouissent de la propriété (6)? 



') Ce théoreme est plus restreint que 1'analogue pour les fonctions algébriques, 

 en ce qu'il exige non seulement flv+i — nv^>ip{v), lim \p{v) = co, mais 



J'=CO 



aussi ^ f{ v )i lim y(*') = oo. Or cette restriction est essentielle pour 



nv j'=co 



notie mode de demonstration; supposous en effet x — 2j — :-> P our lequel 



v 

 lim y(*') = oo, lim 99(2-') = 1. Comme tout nombre entier est la somme de 

 quatre carrés, le développement de x* ne contient aucune lacune et le 

 lemme cesse d'etre appliquable. 



Stockholm 1897. Kungl. Boktryckeriet. 



