ol8 FRANSEN, SUR LES SINGULARITÉS ESSENTIELLES MOBILES. 



se contenter d'une Solution implicite x=ip(y — ex, a, b), si on 

 est assuré que la Solution explicite x=ip(z, a, b) d'une autre 

 équation différentielle n'admet pas de telles singularités. Dans 

 la plupart des cas, on peut choisir c=0. Au Heu de former 

 alors directement la Solution explicite y = f(x, a, b) qui aclmet 

 peut-etre des points essentiels mobiles, il sera en general pré- 

 férable de former la fonetion inverse x = ip(y, a, b) qui n'admet 

 certainement pas de telles singularités. 



2. En me bornant ici aux équations différentielles ratio- 

 nelles, du premier degré en y", je citerai d'abord le théoréme 

 de M. Painlevé auquel j'ai fait allusion. ?) Considérons (p. 

 396) une équation 



p (y', y, x ) 



y 



Q(y' * Vj > x ) 



ou P et Q sont deux polynömes en y', y, sans facteur commun 

 pour x quelconque, les coefficients étant des fonetions analytiques 

 quelconques de x. Désignons (p. 404) par p et q les degres de 

 P, Q en y . M. Painlevé a démontré ce théoréme (p. 405): 

 Si p est supérieur å q + 2, aueune Solution y{x) ne saurait de- 

 venir indéterminée quand x tend vers un point x distinet de 

 certains points fixes qui se mettent en évidence sur 1'équation 

 différentielle. Autrement dit, quand x tend vers x d'une facon 

 quelconque, y(x) tend vers une limite finie ou vers 1'infini. Ce 

 théoréme exprime donc que 1'intégrale generale y(x) ne saurait 

 presenter de singularités essentielles mobiles. M. Painlevé a 

 trouvé aussi des conditions süffisantes pour que toute Solution 

 y(x) et sa dérivée y'(x) tendent certainement vers des valeurs 

 déterminées y , y' (finies ou non), quand x tend vers x (p. 

 410); autrement dit, que ni 1'intégrale generale y(x) ni sa dé- 

 rivée y'(x) ne présentent de singularités essentielles mobiles (p. 

 411, 413). Mais, pour éviter des longueurs, je me bornerai ici 

 a considérer la seule fonction y(x), laissant tout a fait de coté 

 sa dérivée y'(x). 



x ) Le9ons de Stockholm, p. 896 — 413. 



