ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1897, N:0 5. 319 



3. Considérons maintenant une équation rationelle 



y = 



Q(y', y, %)' 



•oü P et Q sont deux polynömes en y', y, x, sans facteur com- 

 mun pour x quelconque. Désignons par p et q les degres de 

 P, Q en y' . Pour que 1'intégrale generale y(x) de cette équa- 

 tion présente des singularités essentielles mobiles, il faut sup- 

 poser, d'apres le théoréme précédent, que p soit egal ou infé- 

 rieur å q + 2. Par suite, en écrivant n au lieu de q, 1'équation 

 sera de la forme 



„ _ «q + «iff' + ce^y' 2 + ■ . • + a n +2y ' n+2 



y ßo + ßiy' + ß-y'- + ■■■ + ß n y' n 



oü les coefficients « et ß sont des polynömes en x, y, ß n n'etant 

 pas identiquement nul. Par l'inversion des variables x, y on 

 obtiendra 1'équation suivante 



,a n x' n+2 + a,x' n+l + . . . + «,,+o 



# = — # -^ — ; TT—, ; • 



ß x' n + ß,x' n -^ + ... +(i n 



Si a Q n'est pas identiquement nul, le degré du numérateur est 

 egal ä n + 3, le degré du dénominateur étant egal ou inférieur 

 a n. Puisque donc la difference des degres est supérieure å 2 

 (égale ou supérieure å 3), il n'est pas possible, d'apres le théo- 

 reme clu § 2, que 1'intégrale generale x(y) présente des singula- 

 rités essentielles mobiles. On peut donc en general, du moins 

 pour les équations complétement rationelles du type 



,/» = P(y', y> *) 

 J ~Q(y',y, *)' 



éviter les singularités essentielles mobiles de 1'intégrale generale 

 par la seule inversion des deux variables. Pour que et la Solu- 

 tion directe #==/(#, a, b) de ces équations et la Solution in- 

 verse x = ip(y, a, b) présentent des singularités essentielles dé- 

 pendantes de a, b, il faut supposer, non seulement que la dif- 

 ference entré le clesré du numérateur et le degré du dénomina- 



