320 FRANSEN, SUR LES SINGULARITÉS ESSENTIELLES MOBILES. 



teur soit au plus égale å 2, mais aussi qu'un certain coefficient 

 ce (x, y) soit identiquement nul. II semble donc que ces équa- 

 tions curieuses förment une classe exceptionnelle et peu nom- 

 breuse. l ) 



4. Supposons maintenant que le coefficient raentionné 

 cc (x, y) soit identiquement nul, c'est-a-dire considérons une 

 équation de la forme 



= A n + A,y' + ... + A n+ l y'>^ 

 J J B n + B x y' + ... + B n y'» 



ou 



,,_ „, A n +x + A n x' + . . . + A x' n+l 

 X B n + B n -ix' + ... + B Q x' n ' 



Les coefficients A et B sont des polynomes en x, y, et du 

 moins B et B n ne sont pas identiquement nuls. Je substitue 

 ici y = z + ex, c étant une constante, et je forme ainsi une 

 équation nouvelle 



„ _ a o + a i z ' + a i z ' 2 + • • • + a n+2 z' n+ ' 2 

 ~ß & + ß x z' + ß 2 z' 2 + ... + ß n z' n ' 



oü les coefficients a et ß sont aussi des polynomes en x, y r 

 formés respectivement des polynomes A et B et contenant n + 2 

 puissances de c. En particulier on aura 



« = c(A + A x c. + . . . + A n+1 c' l+r ) , a n+2 = .4 re+1 , 



ft, = B + B x c + . . . + B n c n , ß n = B n . 



Donc ß n n'est pas identiquement nul, et on peut choisir la 

 constante c de teile maniére que cc (x, y) ne soit pas iden- 

 tiquement nul. En effet, considérons le cas le plus difficile: c'est 

 que A n+ i ne soit pas identiquement nul et que les quotients de 

 A , A x , ... A n par A n+X soient des constantes et que l'equa- 

 tion suivante en c 



o.« + 4^ cn + ■■■ + 4^ c + -P-=° 



') Cfr Painlevé, iDtroduction, § 11, 15. 



