ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1897, N:0 5. 321 



ait n + 1 racines distinctes c x , c 2 , ... c n , c B +i- Alors on aura 

 U Q {x, y) = c(c — ej (c — c 2 ) ... (c — c n ) (c — c n+1 ) ^4„ +] (a-, 3/) , 



et il suffira de donner a la constante c une valeur quelconque 

 différente de n + 2 valeurs fixes c , c l5 c,, ... c n , c„+i, qui se 

 mettent en évidence sur 1'équalion différentielle considérée, c 

 désignant en efFet la valeur nulle. En general, pour que a (x, y) 

 ne soit pas identiquement nul, ii suffira d'eviter vis-ä-vis c au 

 plus n + 2 valeurs données, dont l'une est toujours nulle. Cela 

 pose, donnons å c une valeur convenable, et introduisons y=z + cx 

 dans les coefficients a, /?. Alors 1'équation nouvelle 



„ _ a + a, 2' + . . . + a n+2 z' n+2 

 ß + ß,z' + ... + ß n z'» 



«era du type considéré dans § 3, puisque les coefficients a et ß 

 seront des polynomes en x, z et que ni ß n ni « ne sont pas 

 identiquement nuls. Fonnons donc par l'inversion des variables 

 jc, z 1'équation 



„ _ _ , g w+2 + a n + ix' + • • • + a x' n+2 



ß n + ß n - 1 x' + ... + ß x' n ' 



et cberchons son integrale generale x=w(z, a, b). On est 

 assuré (§ 3) que cette fonction ne présente pas de singularités 

 essentielles mobiles. On obtiendra ainsi la Solution de 1'équa- 

 tion initiale sous la forme implicite x=U'(y — ex, a, b). 



5. En resumé, c'est une conséquence presque immédiate 

 d'un théoréme important de M. Painlevé qu'on peut éviter les 

 singularités essentielles mobiles de ['integrale generale ] ) de toute 

 équation rationelle du type 



J Q(y', y, *)' 



oü P et Q sont deux polynomes en y\ y, x, si on veut se con- 

 tenter d'une Solution implicite de la forme x = yj(y — ex, a, b), 

 oü a, b sont deux constantes arbitraires et c une constante a 



') Laissant pourtant de coté la détivée y'(x) de l'integrale generale y(x) 

 voir § 2. 



