322 FRANSEN, SUR LES SINGULARITÉS ESSENTIELLES MOBILES. 



choisir convenablement, aussitöt que P et Q sont bien connus;: 

 pour ce clioix de la valeur de c on posséde des régles extreme- 

 ment simples (§ 3, 4). L'extension de cette proposition au cas 

 d'une équation algébrique F(y" , y' , y, x) = (algébrique en 

 toutes les variables y", y', y, x) est évidemment possible (d'apres 

 les Lecons de M. Painlevé, p. 417 — 421), mais pour moi il 

 était süffisant de mettre en évidence 1'idée de ces transforma- 

 tions sur un cas simple. 



6. En particulier, soit y" un polynöme en y', c'est-a-dire 

 considérons 1'équation 



J Q{y, *) ' 



en supposant le degré q (ou ii) egal a zéro. Si le degré de P 

 en y est supérieur å 2, on est assuré que 1'intégrale generale 

 y(x) de cette équation ne présente pas de singularités essen- 

 tielles mobiles (§ 3). Or, supposons que le degré de P en y 

 soit egal ou inférieur a 2, c'est-ä-dire que 1'équation ait la 

 forme 



y" = R(x, y) + P{x, y)y — Q(x, y)y" 2 , 



ou P, P, Q sont des fractions rationelles en x, y. Par 1'i'ii ver- 

 sion des variables ./', y on obtiendra 1'équation 



x" = Q{x, y)x' — P(x, y)x' 2 — R(x, y)x' 3 . 



Si donc P(x, y) n'est pas identiquement nul, on est assuré que 

 1'intégrale generale x(y) de la derniére équation ne présente 

 pas de singularités essentielles mobiles (§ 3). Or, supposons 

 que R(x, y) soit identiquement nul, c'est-ä-dire que 1'équation 

 ait la forme 



y" = P(®, y)y' — Q( x , y)y'- , 



ou 



x" = Q (as, y)x' — P(x, y)x' 2 , 



P(x, y) et Q(x, y) étant ici deux fractions rationelles en x, y. 

 Par la Substitution y = z + ex on obtiendra une équation nou- 

 velle (cfr § 4) 



