334 BENDIXSON, SUR LES PARAMÉTRES DIFFERENTIELS. 



on obtient les formules suivantes 



(8) 





2 



D\ 



D' 



[D'D'z-JD'lf*' 



ce qui nous donne enfin, la seconde forme fundamentale sous la 

 forme suivante 



Cette équation établie, on voit sans peine que J x a est un 



invariant dont la valeur demeurera la meine pour la méme 



fonction a et le méme point, guel que soit le Systeme de coor- 



données auquel on rapporte la surface. 



-^ ™ ,.,.,, • / c^ I9cc\- da da 



bn ettet, en multipliant les equations (b) par 1-^- , 2 ^— •-^— 



A / da \- 

 et \-x—\ on obtient 

 \dipj 



ry /^ a \ 2 q jy 3« 3a _r_ Tyl^ a \ 2 T) l^ a \" 9 7") ^ a 3« 7~)/3«\ 2 



2 \dfi w J f)<p dy \3y/ 2 \3m| ■'Bit 3i> \3v/ 



ce qui établit la dite propriété du paramétre différentiel J x a. 

 Un calcul facile met en évidence 1'égalité suivante 



J x (a + ß) = J x a + 4 ^ + 2^(a, /?) 



d'oü l'on conclut que J x {a, /?) est aussi un invariant indépen- 

 dant du Systeme de coordonnées auquel on rapporte la surface. 



II est maintenant evident comment on doit s'arranger pour 

 déterminer si deux surfaces données sont identiques, abstraction 

 faite d'une simple transformation de coordonnées. 



Soient 



ds" 1 = Edii- + VFduäv + Gdv- 

 ds* 



\EG — F> ^5- = Ddu* + 2D x dudv + D dv*- 



XI 



