336 BENDIXSON, SUR LBS PARAMÉTRES DIFEÉRENTIELS. 



J(ip, (p)=.A'(q t , q> x ) 

 J x cp = J' i(pi 

 Jiy = J\ip x 



qui doivent étre compatibles. 



Mais ces 8 équations ne sont pas toutes distinctes, car si 

 les elements linéaires des deux surfaces sont égaux, il s'en suit 

 que les courbures des surfaces sont aussi égales. Cest-å-dire, des 

 5 preraiéres équations (11), on conclut que 



En prenant égard aussi aux équations de Codazzi, on peut 

 conclure que la derniére équation est une conséquence des 7 

 preraiéres. 



Mais il n'y en a que 6 qui sont indépendantes, ce qu'on 

 voit le plus aisément en traitant les divers cas qui peuvent se 

 presenter. 



Toute la difficulté consiste donc å trouver deux fonctions 

 invariantes q> et ip qui sont indépendantes 1'une de 1'autre. 



Nous en connaissons en general 2, a savoir la courbure K et 

 la courbure moyenne K x , qui sont données par les équations 



„ DD,, — D\ „, dd*, — d\ 



_ 2FD, — ED„ — G D 2fd x — ed 2 — gd 



x ~ [EG — F*J/2 ' x T [eg — / 2 ] 3/ * ' 



Les cas suivants sont alors a distinguer. 



I) JK nest pas une fonction de K seul. 



Comrae JK est une fonction invariante, nous mettons alors 

 K = w, JK = ip, ce qui nous donne les équations suivantes 



JK~J'K' 



(12) [j(jK) = J'(J'K') 



