R^y)^=R{x'yX=R{ X "y"U = . . . = R(aP ~ » ^ - ^), . f (4) 



. («e- 



-Vyir- 



- 1} ) 



5=i?(^' 



-l>y(> 



T 1} k 



= R(d r 



-Dyö- 



-"^ 



414 DE BRUN, ZURÜCKFÜHRUNG ABELSCHER INTEGRALE. 



in ein Gebilde niedrigeren Ranges q 



<p(h) = ° (3) 



transformiert werden kann. 



"Weil die in (2) angegebenen Substitutionen nicht birational 

 sind, entsprechen jeder Stelle (£ij), welche zu (3) gehört, am 

 wenigsten zwei Stellen (a?y) des Gebildes (1). Werden sie mit 



(zy) , W) , OY') 

 bezeichnet, haben wir 



Hieraus folgt, dass algebraische Substitutionen 

 x = F lr (x^y^) a&> = F lv {xy) 



y = F av (aP>yio) tp> = F %v {xy) 



v = l, 2, . . . (r-1) 



das Gebilde (1) in sich selbst überführen. Wenn F lv (a^ v ^ y w ) 

 und F iv (a;^ y (v) ) eindeutige sind, werden auch F Xv (xy) und 

 F 2v (xy) eindeutige Functionen. In diesem Falle ist die Sub- 

 stitution birational. 



Damit ein Abelsches Integral erster Gattung icenigere un- 

 abhängige Perioden als 2q haben soll, ist durchaus erforderlich, 

 dass das algebraische Gebilde in sich selbst übergeht, wenn man 

 eine angemessene, bialgebraische (oder birationale) Substitution 

 macht. Weiter muss das Integral für diese Substitution in- 

 variant sein. 



3. Jede algebraische Gleichung kann in gewisse Normal- 

 curven oder Normalformen transformiert werden, welche dadurch 

 karakterisiert sind, dass die Umgebung der Stelle (oooo) durch 

 ein einziges Paar der Functionenelemente dargestellt werden kann, 

 dass gegen jeden in begränztem Gebiete gelegenen Werth des 

 einen Veränderlichen entsprechen nur in begränztem Gebiete 

 gelegene "Werthe des anderen, dass die beiden Ordnungen der 

 Veränderlichen relative Primzahlen sind, und dass die Ordnungs- 

 zahl des einen Veränderlichen den Rang nicht übergeht. Einen 



