ÖFVEKSIGT AP K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1897, N:0 8. 415 



strengen Beweis für die Möglichkeit der Transformation in diese 

 Weierstrassischen Normalformen habe ich in meiner Abhandlung 

 »Till teorien för algebraiska funktioner», K. V. A. 0. 1896 ge- 

 geben. Wir nehmen nun an, dass alle unsere algebraischen 

 Gleichungen solche Normalcurven sind. 



4. Anfänglich werden wir weiter annehmen, dass r gleich 

 zwei ist, welcher der einfachste Fall. 



Die Functionen R(xy)x n und R(xy) /Lt0 sind dann unendliche 

 nur in den beiden Stellen (coco) und (ab) (^C 0000 )) und in 

 jeder von den Ordnungen l und /.<„ resp.; die Entwicklungen 

 in den Umgebungen sind identisch. 



Jedem Werthpaare (xy) entspricht ein Werthpaar (£?j). 

 Gegen (§r[) entsprechen wieder zwei Werthe der Stelle (xy), 

 nämlich (xy) und (x'if). Also jedem Werthpaare (xy) entspricht 

 ein einziges Werthpaar (x'y 1 ) d. i. unsere Gleichung (1) über- 

 geht durch eine birationale Substitution in sich selbst. 



In dem ersteren Theile dieser Abhandlung werden wir den 

 Fall behandeln, dass das Gebilde eine birationale Substitution 

 zulässt. 



5. Sei 



fi«y) = ° 



eine Weierstrassische Normalcurve (>:ten Ranges, welche in sich 

 selbst übergeht, wenn man die Substitutionen 

 x' — R(xy ; ab)x 



(6) 



y' = R(xy ; ab)^ 



macht, wo R(xy; ab) x eine rationale Function des Grades x. 

 von dem Werthpaare (xy), welche als einzige Unendlichkeits- 

 stelle die in begränztem Gebiete belegene Stelle (ab) hat. 



Falls die Gleichung (1) nur eine Substitution (6) zulässt, 

 d. i. falls es nur eine solche Stelle (ab) giebt, dass man rationale 

 Functionen der Grade l und f.i bilden kann, welche nur in 

 dieser Stelle unendlich werden, muss man 

 x" = R(x'y' ; ab)i = x 



haben. 



(7) 

 y" == R(x'y ; ab) u = y 



