ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1897, N:0 8. 417 



darstellen, unter welchen wir die Relationen 



dio'a = «« dio a 



£ 2 = + l, « = 1,2. . . Q (10) 



haben. Alle e x , e 2 , . . . e» in (10) können nicht gleich — 1 

 sein, falls nicht die neue Gleichung (9) den Rang hat. 

 Wenn q von den £,, £ 2 , . . . Sp gleich + 1, und die übrigen 

 gleich — 1 sind, ist der Rang o , und die Anzahl der unab- 

 hängigen Perioden 2q . Um deshalb zu untersuchen, ob ein 

 Abelsches Integral erster Gattung zwei unabhängige Perioden 

 hat, hat man nur die q Integrale io l , io 2 , . . . io zu bilden, 

 und ob ein von e v e 2 . . . e„ gleich + 1, die übrigen gleich 

 — 1 sind, zu beobachten. Da indessen diese Methode sehr 

 mühsam ist, wenn die Gleichungen nicht hyperelliptisch sind, 

 will ich hier, um die wichtige Frage beantworten zu können, 

 einen anderen Weg einschlagen, mit dem ausserdem der Vor- 

 zug verknüpft ist, dass er uns unmittelbar die Substitutionen 

 (8) giebt. 

 Es sei 



«j = + 1 

 e 1+a = —l, a = 1, 2, . . . (o — 1). 



Wenn wir in co 1 die Substitutionen (8) machen, werden wir 



dio x = <#?!//,(£??) ip 2 (xy) 



erhalten; hier bezeichnen w i und \p 2 rationale Functionen von 

 den Veränderlichen. Da nun das Membrum, sowohl an der 

 rechten, wie an der linken Seite, für (6) invariant ist, muss 

 </' 2 (^3/) eine rationale Function sein. Hieraus geht hervor, dass 



.dto x = ü x (§q) dl , 



falls wir mit fH 1 (£rj) <i| ein Abelsches Integral erster Gattung 

 der Gleichung (3) bezeichnen. 



8. Diese Gleichung (3) ist des ersten Ranges, wenn 



