418 DE BRUN, ZURÜCKFÜHRUNG ABELSCHER INTEGRALE. 



ist. Unsere nächste Aufgabe ist daher die Bedingungen zu be- 

 stimmen, unter welchen man rationale Functionen des vierten 

 und sexten Grades bilden kann, die unendlich nur in (com) 

 und (ab) werden und in den Umgebungen der Stellen (com) 

 und (ab) identische Entwicklungen haben. Diese Untersuchung 

 ausführlich für jede Normalcurve durchzuführen und die Resul- 

 tate in besonderen Tabellen mitzutheilen, würde zu mühsam 

 sein in Verhältniss zum kleinen Nutzen, den sie bringt. Um 

 indessen zu zeigen, wie eine solche Analyse durchgeführt wer- 

 den kann, will ich die Frage untersuchen unter der Annahme, 

 dass die Normalcurve (1) l gleich drei hat, welcher Fall 

 der nächste ist nach dem der hyperelliptischen Gleichungen, 

 welche ich vorher behandelt habe. (»Om invarianta hyperelliptiska 

 likheter), K. V. A. Ö. 1897). 



Die existierenden Singularitäten 



(«!&) ) («2&) • • • ( a *ß*) 



nehmen wir der Einfachheit halber an, gewöhnliche Doppelpunkte 

 zu sein. Die Umgebungen derselben sind durch 



X = CCy + t I 



y = ß. v + tp v/l (t) [ (11) 



ft = l, 2; v = l, 2. . . N 



dargestellt. In der Umgebung der (com) sind 



x = t~ l 



y = tr-P-[c + tp(t)~], c =j=0. 



Weil die Gleichung für (fi) invariant ist, findet man ohne 

 weiteres 



iq = x + x' — x + R(xy ; ab\ . (13) 



Nehmen wir an, dass wir in der Umgebung der Stelle (ab) 



x — a + t 



y = b + ty\(t) I (14) 



haben, ist 



£ = (x — a) (x' — a) = (x — a) [R(xy ; ab\ — d] . (15) 



(12) 



