ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1897, N:0 8. 421 



3/? 2 + 2ßP l (a) + P 2 (a) = j 



P\(a)ß* + P' 2 (cc)ß + 2aP 3 (a) + ß 2 P' 3 («) = O ! (21) 

 ß 3 + P, (a) ß 2 + P 2 (a) /i + « 2 P 3 («) = . I 



Die Gleichung (19) ist für eine birationale Substitution in- 

 variant, wenn man rationale Functionen dritten und vierten 

 Grades, welche die einzige Unendlichkeitsstelle (00) haben, bil- 

 den kann. 



Wir setzen 



x , = (y - ß)(y - ß') + (x - <*)\Ay + # (*)] ; 



xy{x — et) 



wo die ganze rationale Function R(x) von 



ßß' + ia v — a) H{a y ) = „ = lf % 3 



bestimmt wird. Mit /?' meinen wir den Werth ausser /?, welchen 

 y für ,£ gleich a annimmt, mit a t , a 2 , a 3 die drei Nullstellen 

 der Function P 3 (x), und mit 6' und b" den Werth ausser Null, 

 welchen y für # gleich Null annimmt. 



Weil (06'), (Ob") nicht Unendlichkeitsstellen sind, haben wir 



aA = P x {a) + ß-P^O), 

 ßß' — ccH(0) = P 2 (0). 



Von allen diesen Formeln finden wir 



i _(y-ß)(y-^)+ ^ {a) + ß - P ^ Qc - a)y + (* - «)//(*) 



xy{x — a) 



wenn wir 



H(x) = -M— + ß 4- v (* - «!) + 



v a — a, (a — a x ){a — ««,) v 



OiJ' 



[a — a x )(a — a 2 )(a — a 3 ) 



(22) 



(22*) 



setzen. 



Auf denselben Weg bekommen wir 



(y - w -f) + Pl(a)+ ^~ p - ^ - «> ^ + ^ - a '> ^2 



x'y'ix' — a) 



(23) 



